Fanden Sie's heraus? Lösung unseres Rätsels aus der e-news-Ausgabe Nr. 1, März 2022
Gezinkte Würfel
Lohnt sich die Fälschung?
Bei dem Würfelspiel „Verrückte 7“ geht es darum, mit zwei Würfeln die Augensumme 7 zu werfen. Da einer der Spieler kein großes Würfelglück hat, versucht er dem etwas nachzuhelfen. Dazu hat er zwei Spielwürfel durch Hohlräume und Gewichte in deren Inneren gefälscht. Die Würfel haben beide die Augenzahlen von 1 bis 6. Durch die Fälschung hat sich die Wahrscheinlichkeit beim ersten Würfel, eine 1 zu werfen, auf 1/5 erhöht. Die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen von 2 bis 6 sind gleich groß. Beim zweiten Würfel hat sich die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu werfen, auf 1/5 erhöht. Die Wahrscheinlichkeiten für die übrigen Zahlen von 1 bis 5 sind ebenfalls gleich groß.
Wieviel höher ist die Wahrscheinlichkeit für den Betrüger, die Augensumme 7 durch einen Wurf mit seinen beiden gezinkten Würfeln zusammen zu erreichen? Lohnt sich die Fälschung?
Lösung
Bei einem Wurf mit zwei normalen Würfeln können 6 · 6 = 36 verschiedene Augenpaare geworfen werden. Dabei ergeben die sechs Paare (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) und (6, 1) die Augensumme 7. Da die Wahrscheinlichkeit für jedes Augenpaar bei normalen Würfeln gleich hoch ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, damit die Augensumme 7 zu werfen, 6/36 = 1/6.
Bei den gezinkten Würfeln beträgt die Wahrscheinlichkeit mit dem ersten Würfel eine 1 oder mit dem zweiten eine 6 zu würfeln jedoch 1/5. Damit liegt sie für jede andere Augenzahl bei (1 − 1/5)/5 = 4/25. Das Augenpaar (1, 6) wird somit mit beiden Würfeln mit der Wahrscheinlichkeit 1/5 · 1/5 = 1/25 erreicht, während jedes der anderen fünf Augenpaare, die eine 7 ergeben, nur mit der Wahrscheinlichkeit 4/25 · 4/25 = 16/625 geworfen wird.
Insgesamt beträgt also die Wahrscheinlichkeit, eine 7 zu werfen, 1/25 + 5 · 16/625 = 21/125. Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 7 zu werfen, erhöht sich also durch die Fälschung nur um 21/125 – 1/6 = 1/750. Es lohnt sich also kaum für den Betrüger.
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