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Dés truqués
Une triche rentable ?
Le but du jeu « Crazy 7 » est d'obtenir un total de 7 avec deux dés. L'un des joueurs n'a pas beaucoup de chance avec les dés et il décide donc de forcer un peu le destin. Pour cela, il utilise deux dés truqués, qui sont creux et renferment des poids. Les dés présentent tous les deux six faces comptant de 1 à 6 points. Maintenant qu'ils sont truqués, la probabilité d'obtenir un 1 avec le premier dé a augmenté et s'élève à 1/5. Les probabilités concernant les chiffres compris entre 2 et 6 sont les mêmes. Pour le deuxième dé, la probabilité d'obtenir un 6 a également augmenté et s'élève désormais à 1/5. Les probabilités concernant les autres chiffres, de 1 à 5, sont aussi les mêmes.
De combien augmente la probabilité du tricheur d'obtenir un total de 7 en lançant ses deux dés truqués ? Une triche rentable ?
Solution
Lors d'un lancer avec deux dés normaux, il est possible d'obtenir 6 x 6 = 36 paires différentes. Il existe six paires qui donnent un total de 7 : (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) et (6, 1). Étant donné que la probabilité d'obtenir chaque paire est identique avec des dés normaux, cela signifie que la probabilité d'obtenir un total de 7 est de 6/36, soit 1/6.
En revanche, en ce qui concerne les dés truqués, la probabilité d'obtenir un 1 avec le premier dé ou un 6 avec le deuxième dé est de 1/5. Par conséquent, pour toute autre paire, cette probabilité s'élève à (1 – 1/5)/5 = 4/25. La paire (1, 6) s'obtient donc avec une probabilité de 1/5 x 1/5 = 1/25, alors que pour chacune des cinq autres paires donnant un total de 7, la probabilité est de 4/25 x 4/25 = 16/625.
La probabilité d'obtenir un total de 7 est donc de 1/25 + 5 x 16/625 = 21/125. Cela signifie que cette probabilité augmente de seulement 21/125 – 1/6 = 1/750 en lançant les dés truqués. Notre tricheur n'a donc que peu d'intérêt à truquer ainsi les dés.
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